Góc Euler

Leonhard Euler là người cố gắng biểu diễn phương hướng đầu tiên. Ông đã tưởng tượng ra 3 khung tham chiếu có thể quay lần lượt vòng quanh nhau và nhận ra rằng bằng cách sử dụng một khung tham chiếu cố định và biểu diễn ba vòng quay ông có thể dùng bất kỳ khung tham chiếu trong không gian (sử dụng 2 vòng quay trên một trục dọc cố định và những vòng quay khác trên 2 trục khác). Giá trị của 3 vòng quay được gọi là Góc Euler.

Góc Tait-Bryan

Có ba góc được gọi là các momen đảo lại, dọc-xuống, nghiêng (yaw, pitch and roll), Góc đinh hướng và góc Cardan. Theo toán học mà nói, thì chúng tạo thành một dãy gồm 6 điều có thể xảy trong dãy 12 điều có thể của Định lý góc Euler. Theo thứ tự từ những điều mà miêu tả tốt nhất phương của một phương tiện như máy bay. Trong ngành hàng không vũ trị thì chúng thường được gọi là một góc Euler.

Vector phương hướng

Euler cũng nhận ra rằng thành phần của hai chuyển động quay tương đương với một chuyển quay duy nhất theo các trục cố định (theo định lý về chuyển động quay của Euler). Vậy nên thành phần của 3 góc phải bằng với 1 chuyển động quay duy nhất theo trục được dùng tính toán đến khi ma trận ra đời.

Dựa trên những điều này, ông đưa ra một vector để miêu ra mọi chuyển động quay, với một vector trên trục quay và bằng với giá trị của góc. Vậy nên mọi phương hướng có thể biểu diễn bằng vector quay (được gọi là Vector Euler) có thể dẫn đến một điểm nào đó từ khung tham chiếu. Khi sử đụng để biểu diễn một phương hướng vector quay được sử dụng nhiều nhất được gọi là vector phương hướng.

Ma trận phương hướng

Với sự ra đời của ma trận Định lý Euler đã được viết lại. Chuyển động quay được miêu tả bởi ma trận trực giao cũng được gọi là ma trận quay hoặc ma trận định hướng cosin. Khi biểu diễn một ma trận quay thường được gọi là ma trận phương hướng.

Chứng minh trên đã nhắc đến vector Euler là eigenvecror của một ma trận xoay. Kết quả của 2 ma trận ma trận xoay mà thành phần của chuyển động xoay. Vậy nên phương hướng có thể hiểu rằng chuyern động quay từ khung đầu tiên đê đạt được cái khung mà chúng ta muốn miêu tả.

Không gian cấu hình của một vật không đối xứng trong một không gian n-chiều là SO(n) x Rn. Phương hướng có thể hiểu được là bằng cách gắn một nền tảng của các vector tiếp tuyến vào vật. Phương hướng được xác định các hướng đường của các điểm của vector.

Phương hướng quaternion

Một cách khác để miêu tả chuyển động quay là sử dụng chuyển động quaternion, thường được gọi là versors. Chúng tương đương với ma trận quay và ma trận vectors. Đối với vector quay, chúng có thể dễ dàng được chuyển đổi thành ma trận và ngược lại. Khi dùng để biểu diễn phương hướng, chuyển động quay quaternion thường được gọi là phương hướng quaternions.